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おそらく活動状況とか、他愛もないこととか書きます。 μ崎みのりの気ままで気まぐれなブログです。 作曲とか、ゲーム製作なんかしてます。
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今日のgoogleが論理演算になっていたのでふと物思いにふけってしましました。

普通、論理値といえば真(true)または偽(false)のみを取る値です。
プログラミングだとboolとかBooleanとかで定義されてるアレですね。

…で、この論理値には二項演算があります。ANDとかORとかのあれです。
ふたつの入力XとYに対して出力をどのように制御するかのパターンを考えると、
AND・OR・XOR・NAND・NORなどの代表的なものから、含意とかYに関係なくXを返すとか特殊なパターンなども全部合わせて16通り(2^2^2)になります。

……で。.NETにはnull許容型があるわけで。
bool型のnull許容はtrue・falseに加えてnullも取りうる三値論理になるわけですね。
bool?型は他のNullable<T>と違って&・ | などの二項演算が特別扱いされ、三値論理演算になっています。
こちらもANDやORなどは分かりやすい挙動ですが、じゃぁこの演算子が全部で何パターンあるかを数えてみると…。
3^3^3なので19683通りに増えます。
さすがにこれを列挙するのは至難の業ですね…。
累乗が2回出てくるので爆発的に組み合わせは増えていきますね。
もちろんオペランドを入れ替えただけだったり、NANDやNORのような全体を否定するだけだったりのパターンを考慮すると数は減りますが……。
その数え上げすら結構面倒なので省略します(笑)が、それでも1/4くらいにしかならないはず…。
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一様多面体を表示してぐりぐり動かせるソフトを作っているのですが、
どうしても大二重斜方20・12面体がうまく球面四角形から作れません。

そもそもワイソフ記号「 | 5/2 3/2 5/3 3」から球面四角形を作ろうとすると、
内角の和が360°になって平面の普通の四角形になっちゃうのですが……。

そこにどんなトリックが隠されているのか、探しても探しても見付からず。
ワイソフ構成プログラム自体は球面四角形にも対応して、一応それっぽい物は表示できますが
正しい大二重斜方20・12面体にはどうやってもたどり着けません。

変形面が中心を通っているから普通の方法では作れないのでしょうか…?
多趣味で色々なものに手を出しているμ崎です。

最近は関数型プログラミング言語や、数学についてといった
いかにもドヤ顔ができそうな内容について色々勉強していましたが、
今の私のトレンドはフラクタル図形に移りました。

……そうです、今回も幾何学です。



一度くらいは、このような図形を見たことがあるんじゃないでしょうか。
三角形の真ん中を白抜きにして、穴で分割された3つの小さな三角形の真ん中を白抜きにして、
さらにその穴で分割された三角形を……といった操作を延々と続けていくとできるこの図形は、
シェルピンスキーのガスケットと呼ばれます。
実際にはこの操作を無限回繰り返した図形なので、正確には作図できません。

このような図形の一部分が全体と自己相似しているような図形をフラクタルと呼ぶのですが…

この図形、約1.6次元の図形なんです。

ここでいう「次元」という言葉は、誰もが思い浮かべる「次元」とは少し違うのですが。
やっぱり普通じゃない図形って私の目には魅力的に映るんですよね……。

で、理論的な話はWikipediaを参照してもらうとして(投げやり)、
今私はこのような(再帰的に定義できる)フラクタル図形を表示するソフトを作っています。
数学ができない人でもなんとなくドラッグの操作で遊べるように頑張ってます。
最初は遊びのつもりでしたが結構な完成度になってきたので、完成したら公開しようと思います!
単に「4次元」と言った時、人はどう捉えるのでしょうか。
そもそも「4次元」という言葉の本来の意味は「1点を決めるのに4つの変数が必要な(抽象的な意味での)空間」です。
それがユークリッド空間だろうが、非ユークリッド空間だろうが、ミンコフスキー空間(=時空)だろうが構わないわけです。

しかし、一般人は抽象的な4次元ではなく、その具象として捉える人が多いはず。
私自身、「4次元」という言葉を暗に「4次元ユークリッド空間」という意味で使うので、
だいたいみんなもそうだろうと思っていました。

しかし、世に存在する「4次元」には他にも色々な意味があります。
前述した物理学・数学的な意味での「4次元」はもちろんのこと。
例えば、3次元空間に「精神の軸」なんかを足したオカルトだったり。
ドラえもんの存在により、「SF」「物理法則が適用できない」なんていうイメージを抱く人も多いのではないでしょうか。


……というわけでですね。
検索やらなんやらして調べたんです。
その結果、大半の人が「なんかすごいもの」という捉え方だろうという結論に。
きちんと理解している人の中では、4次元時空と捉える人が多いみたいですね……。
今まで当然のように使ってきた「4次元」という言葉。
なんだか私の使い方が異端児な予感がします。
表現には気を付けなければ。
非凸一様多胞体について調べるうちに、1800を超える一様多胞体を(発見されているものについて)ほぼ全て網羅した英語のサイトを発見しました。

……私は軽い気持ちで(?)非凸な一様多胞体に手を出したのですが、
その考えが甘かったことが分かりました。
正直、私の手におえない気がします。

非凸を許した場合、3次元よりも複雑な「例外パターン」が多く現れるようで。
私が気に入ったのは「swirlprism」のグループ。和訳すると……渦巻き角柱、でしょうか。
なんだかかわいい名前ですね。
大反角柱の正5角反柱は10個ずつでリングを作っていますが、このリング構造だけを使って
正5角反柱×120個(600個だったかも)でひとつの多胞体にできるみたいです。
対称性は大反角柱以上正600胞体未満のようで、ワイソフ構成不能。
見付けた人すごい。
頂点配置が正600胞体と同じで、モデル作成はそれほど難しくなさそうなので、チャレンジしてみようかな。
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